Himpunan (set)
· Himpunan (set)
adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
· Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Cara Penyajian Himpunan
1. Enumerasi
Contoh 1.
-
Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
-
Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
- C
= {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b,
{a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a},
{{a}} }
- K = {
{} }
-
Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
-
Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
x Î A : x merupakan anggota himpunan A;
x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan:
A = {1, 2, 3, 4}, R = { a,
b, {a, b, c}, {a, c}
}
K = {{}}
maka
3 A
5 B
{a, b,
c} Î R
c Ï R
{} Î K
{} Ï R
Contoh
3. Bila P1 = {a, b}, P2
= { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}},
maka
a Î P1
a
Ï P2
P1 Î P2
P1 Ï P3
P2 Î P3
2. Simbol-simbol
Baku
P = himpunan bilangan bulat
positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami
(natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = {
..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
·
Himpunan
yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A
adalah himpunan bagian dari U,
dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi
Pembentuk Himpunan
Notasi: { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4.
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang
kecil dari 5
A = { x | x
adalah bilangan bulat positif lebih
kecil dari 5}
atau
A = { x
| x
P,
x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3,
4}
(ii) M = { x
| x adalah mahasiswa yang mengambil
kuliah IF2151}
4. Diagram Venn
Contoh
5.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Kardinalitas
·
Jumlah elemen di
dalam A disebut kardinal dari
himpunan A.
·
Notasi: n(A)
atau êA ê
Contoh 6.
(i) B
= { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },
atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8
(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5
(iii) A = {a,
{a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3
Himpunan Kosong
·
Himpunan
dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
·
Notasi :
Æ atau {}
Contoh 7.
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii) P =
{ orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A
= {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2
+ 1 = 0 }, n(A) = 0
·
himpunan
{{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}
·
himpunan
{{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}
·
{Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu
elemen yaitu himpunan kosong.
Himpunan Bagian (Subset)
·
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari
himpunan B jika dan hanya jika setiap
elemen A merupakan elemen dari B.
·
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
·
Notasi: A
Í B
·
Diagram
Venn:
Contoh 8.
(i) { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}
(iii)
N Z
R
C
(iv) Jika A
= { (x, y) | x + y < 4, x ³, y ³ 0 } dan
B = { (x, y) | 2x + y
< 4, x ³ 0 dan y
³ 0 },
maka B A.
TEOREMA 1. Untuk
sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah
himpunan bagian dari A itu sendiri
(yaitu, A A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian
dari A ( A).
(c) Jika A
Í B
dan B Í C, maka A Í C
· A
dan A A,
maka dan A
disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper
subset) dari himpunan A.
Contoh: A
= {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper
subset dari A.
· A Í B berbeda dengan A Ì B
(i)
A Ì B : A adalah himpunan bagian dari B
tetapi A ¹ B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper
subset dari {1, 2, 3}
(ii) A Í B : digunakan untuk
menyatakan bahwa A adalah
himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A
= B.
Himpunan yang Sama
·
A = B jika dan hanya jika
setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
·
A = B jika A adalah himpunan
bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika
tidak demikian, maka A ¹ B.
·
Notasi :
A = B « A Í B
dan B Í A
Contoh 9.
(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x
(x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A
= { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 },
maka A = B
(iii)
Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B
Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B, maka B = A
(c) jika A = B dan B = C, maka A = C
Himpunan yang Ekivalen
·
Himpunan
A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari
kedua himpunan tersebut sama.
·
Notasi :
A ~ B « ½A½ = ½B½
Contoh 10.
Misalkan
A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d
}, maka A ~ B sebab ½A½ = ½B½ = 4
Himpunan Saling Lepas
·
Dua
himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint)
jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
·
Notasi :
A // B
·
Diagram
Venn:
Contoh 11.
Jika A = { x | x
P,
x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A
// B.
Himpunan Kuasa
·
Himpunan kuasa (power
set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan
semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A
sendiri.
·
Notasi :
P(A)
atau 2A
·
Jika ½A½ = m,
maka ½P(A)½ = 2m.
Contoh 12.
Jika
A = { 1, 2 }, maka P(A)
= { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh
13.
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.
Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
·
Notasi :
A Ç B
= { x | x Î A
dan x Î B
}
 |
Contoh 14.
(i)
Jika A
= {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10,
14, 18},
maka A Ç B = {4, 10}
(ii)
Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B
= .
Artinya: A
// B
b. Gabungan (union)
·
Notasi :
A È B
= { x | x Î A
atau x Î B
}
 |
Contoh 15.
(i)
Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B
= { 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii)
A = A
c. Komplemen (complement)
·
Notasi :
= { x | x Î U,
x Ï A
}
= { x | x Î U,
x Ï A
} |
Contoh 16.
Misalkan U = { 1, 2, 3,
..., 9 },
(i)
jika A = {1, 3, 7, 9}, maka = {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 6, 8}
(ii)
jika
A = { x | x/2 P,
x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
= { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh 17. Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum
tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya
kurang dari Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa
universitas tertentu
(i)
“mobil
mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar
negeri” à (E Ç A)
È (E Ç B)
atau E Ç (A
È B)
(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum
tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” à A Ç C Ç D
(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai
nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à 
d. Selisih (difference)
·
Notasi :
A – B = { x | x Î A
dan x Ï B
} = A Ç 
 |
Contoh 18.
(i)
Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 }
dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B
= { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A =
(ii)
{1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
·
Notasi: A Å B
= (A È B)
– (A Ç B)
= (A – B) È (B – A)
Contoh 19.
Jika
A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B
= { 3, 4, 5, 6 }
Contoh 20. Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di
atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan
nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas
80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
(i) “Semua
mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q
(ii)
“Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q
(iii)
“Ssemua mahasiswa
yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A Å B = B Å A (hukum komutatif)
(b) (A Å B ) Å C = A Å (B Å C ) (hukum asosiatif)
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
·
Notasi: A ´ B
= {(a, b) ½ a Î A
dan b Î B
}
Contoh 20.
(i)
Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D
= { a, b }, maka
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii)
Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
1.
Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.
2.
Pasangan
berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)
¹ (b, a).
3.
Perkalian
kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di
atas, D ´ C
= {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.
4. Jika A = Æ atau B = Æ, maka A
´ B = B
´ A =
Æ
Contoh 21. Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B
= himpunan minuman = { c = coca-cola,
t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari
kedua himpunan di atas?
Jawab:
½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 × 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c),
(s, t), (s, d), (g,
c), (g, t), (g, d),
(n, c), (n, t), (n,
d), (m, c), (m, t),
(m, d)}.
Contoh 21. Daftarkan
semua anggota himpunan berikut:
(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c)
{Æ}´ P(Æ) (d)
P(P({3}))
Penyelesaian:
(a)
P(Æ) = {Æ}
(b)
Æ ´ P(Æ) = Æ
(ket: jika A = Æ atau B
= Æ maka A ´ B
= Æ)
(c)
{Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))
(d)
P(P({3})) = P({ Æ, {3}
}) = {Æ, {Æ}, {{3}}, {Æ, {3}} }
Perampatan Operasi Himpunan
    |
Contoh 22.
(i) A (B1B2 ... Bn) = (A B1) (A
B2) ... (A
Bn)
(ii) Misalkan A = {1, 2}, B
= {a, b}, dan C = {a, b}, maka
A ´ B ´ C
= {(1, a, a), (1, a,
b), (1, b, a), (1, b,
b), (2, a, a), (2, a,
b), (2, b, a), (2, b,
b) }
Hukum-hukum Himpunan
1. Hukum identitas:
A = A
A U
= A
|
2. Hukum
null/dominasi:
A =
A U
= U
|
3. Hukum
komplemen:
A
 = U
A
= |
4. Hukum
idempoten:
A A
= A
A A
= A
|
5. Hukum
involusi:
 = A |
6. Hukum
penyerapan (absorpsi):
A (A
B)
= A
A (A
B)
= A
|
7. Hukum
komutatif:
A B
= B A
A B
= B A
|
8. Hukum
asosiatif:
A (B
C)
= (A B)
C
A (B
C)
= (A B)
C
|
9. Hukum distributif:
A (B
C)
= (A B)
(A
C)
A (B
C)
= (A B)
(A
C)
|
10. Hukum
De Morgan:
 =   =  |
11. Hukum 0/1
 = U = Æ |
 |
Prinsip Dualitas
·
Prinsip
dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan
jawaban yang benar.
Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan
Inggris
(juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:
(a)
di Amerika Serikat,
- mobil harus berjalan di bagian kanan
jalan,
-
pada
jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,
-
bila
lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung
(b) di Inggris,
-
mobil
harus berjalan di bagian kiri jalan,
-
pada
jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,
-
bila
lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung
Prinsip dualitas:
Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut
sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di
Inggris.
·
(Prinsip
Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti ® , ® , ® U, U ® , sedangkan komplemen dibiarkan seperti
semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
1. Hukum identitas:
A
= A
|
Dualnya:
A U = A
|
2.
Hukum null/dominasi:
A
=
|
Dualnya:
A U
= U
|
3. Hukum
komplemen:
A
= U |
Dualnya:
A
= |
4. Hukum
idempoten:
A
A
= A
|
Dualnya:
A A
= A
|
5. Hukum
penyerapan:
A
(A
B)
= A
|
Dualnya:
A (A
B)
= A
|
6. Hukum
komutatif:
A
B
= B A
|
Dualnya:
A B
= B A
|
7. Hukum
asosiatif:
A (B
C)
= (A B)
C
|
Dualnya:
A (B
C)
= (A B)
C
|
8. Hukum distributif:
A (B
C)=(A B)
(A
C)
|
Dualnya:
A (B C)
= (A B)
(A
C)
|
9. Hukum
De Morgan:
= |
Dualnya:
= |
10. Hukum 0/1
= U |
Dualnya:
= Æ |
Contoh 23. Dual dari (A B)
(A
) = A adalah
) = A adalah
(A B)
(A
) = A.
) = A.
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Untuk
dua himpunan A dan B:
½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A
Ç B½
½A Å B½ = ½A½ +½B½ – 2½A Ç B½
Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat
antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A
= himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B
= himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A Ç B
= himpunan bilangan bulat yang habis
dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK –
Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
yang ditanyakan
adalah ½A È B½.
½A½ = ë100/3û = 33,
½B½ = ë100/5û = 20,
½A Ç B½ = ë100/15û = 6
½A È B½ = ½A½ + ½B½ – ½A Ç B½ = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi, ada 47 buah
bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku
½A È B È C½ = ½A½ + ½B½ + ½C½ – ½A Ç B½ –
½A Ç C½ – ½B Ç C½ + ½A Ç B Ç C½
Untuk himpunan A1, A2, …, Ar,
berlaku:
½A1 È A2
È … È Ar½ = 
½Ai½ – 
½Ai Ç Aj½ +
½Ai½ – ½Ai Ç Aj½ + 
½Ai Ç Aj Ç Ak½ + … +
(-1)r-1 ½A1 Ç A2
Ç … Ç Ar½
Partisi
- Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
(a)
A1 È A2 È … = A, dan
(b)
Ai
Ç Aj = Æ untuk i ¹ j
Contoh 25. Misalkan A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah
partisi A.
Himpunan Ganda
- Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2,
3, 4}, {}.
- Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
- Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
- Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.
Operasi Antara Dua Buah Multiset:
Misalkan P
dan Q adalah multiset:
1.
P Q
adalah suatu multiset yang
multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada
himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a,
c, d, d } dan Q ={ a,
a, b, c, c },
P Q
= { a, a, a, b,
c, c, d, d }
2.
P Q
adalah suatu multiset yang
multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada
himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a,
c, d, d } dan Q = { a, a, b, c,
c }
P Q
= { a, a, c }
3. P –
Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya
sama dengan:
multiplisitas
elemen tersebut pada P dikurangi
multiplisitasnya pada Q, jika
selisihnya positif
0,
jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh: P = { a, a, a,
b, b, c, d, d,
e } dan Q = { a, a, b, b,
b, c,
c,
d, d, f } maka P – Q = { a,
e }
4.
P + Q, yang didefinisikan
sebagai jumlah (sum) dua buah
himpunan ganda, adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen
tersebut pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a, b,
c, c } dan Q = { a, b,
b, d },
P + Q
= { a, a, a, b, b,
b, c, c, d }
Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan
·
Pernyataan
himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
·
Pernyataan dapat
berupa:
1. Kesamaan (identity)
Contoh: Buktikan “A
Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)”
2. Implikasi
Contoh: Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku
bahwa A Í C”.
1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh 26. Misalkan A,
B, dan C adalah himpunan. Buktikan A
Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) dengan
diagram Venn.
Bukti:
 |
 |
A Ç (B
È C) (A Ç B)
È (A Ç C)
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A
Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
·
Diagram Venn
hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
·
Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan
fakta. Diagram Venn tidak dianggap
sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel
keanggotaan
Contoh 27. Misalkan A,
B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
Bukti:
A
|
B
|
C
|
B È C
|
A Ç (B
È C)
|
A Ç B
|
A Ç C
|
(A
Ç B) È (A
Ç C)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Karena kolom A Ç (B È C) dan
kolom (A Ç B) È (A Ç C) sama,
maka A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar
himpunan.
Contoh 28. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A
Ç B) È (A Ç ) = A
) = A
Bukti:
(A Ç B)
È (A Ç ) = A Ç (B
È ) (Hukum
distributif)
) = A Ç (B
È ) (Hukum
distributif)
= A
Ç U (Hukum
komplemen)
= A (Hukum identitas)
Contoh 29. Misalkan A dan B himpunan. Buktikan
bahwa A È (B
– A) = A È B
Bukti:
A
È (B – A) = A
È (B Ç ) (Definisi operasi
selisih)
) (Definisi operasi
selisih)
= (A
È B) Ç (A
È ) (Hukum
distributif)
) (Hukum
distributif)
= (A
È B) Ç U (Hukum komplemen)
= A È B (Hukum identitas)
Contoh 30. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa
(i) A È ( Ç B)
= A È B dan
Ç B)
= A È B dan
(ii) A Ç ( È B)
= A Ç B
È B)
= A Ç B
Bukti:
(i) A È ( Ç B) = ( A
È ) Ç (A Ç B) (H. distributif)
Ç B) = ( A
È ) Ç (A Ç B) (H. distributif)
= U
Ç (A Ç B) (H. komplemen)
= A È B (H. identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
A Ç ( È B) = (A
Ç ) È (A Ç B) (H. distributif)
È B) = (A
Ç ) È (A Ç B) (H. distributif)
= Æ È (A Ç B) (H. komplemen)
= A Ç B (H. identitas)
4. Pembuktian dengan menggunakan
definisi
·
Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak
berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di
dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (Í
atau Ì).
Contoh 31. Misalkan A
dan B himpunan. Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka A Í C. Buktikan!
Bukti:
(i) Dari definisi himpunan bagian, P Í Q jika dan hanya jika setiap
x Î P juga Î Q. Misalkan
x Î A. Karena A Í (B È C), maka
dari definisi himpunan bagian, x juga
Î (B È C).
Dari
definisi operasi gabungan (È), x Î (B È C) berarti x Î B atau x Î C.
(ii) Karena x Î A dan A Ç B = Æ, maka x Ï B
Dari (i) dan (ii), x Î C harus
benar. Karena "x Î A juga berlaku x Î C, maka dapat disimpulkan A Í C .
Tipe Set dalam Bahasa Pascal
·
Bahasa
Pascal menyediakan tipe data khusus untuk himpunan, yang bernama set. Tipe set
menyatakan himpunan kuasa dari tipe ordinal (integer, character).
Contoh:
type
HurufBesar = ‘A’..‘Z’; {
enumerasi }
Huruf = set of HurufBesar;
var
HurufKu : Huruf;
Nilai untuk peubah HurufKu dapat diisi dengan pernyataan berikut:
HurufKu:=[‘A’,
‘C’, ‘D’];
HurufKu:=[‘M’];
HurufKu:=[]; { himpunan kosong }
·
Operasi yang
dapat dilakukan pada tipe himpunan adalah operasi gabungan, irisan, dan selisih
seperti pada contoh berikut:
{gabungan}
HurufKu:=[‘A’,
‘C’, ‘D’] + [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{irisan}
HurufKu:=[‘A’,
‘C’, ‘D’] * [‘C’, ‘D’, ‘E’];
{selisih}
HurufKu:=[‘A’,
‘C’, ‘D’] - [‘C’, ‘D’, ‘E’];
- Uji keanggotaan sebuah elemen di dalam himpunan dilakukan dengan menggunakan opeator in seperti contoh berikut:
if ‘A’ in HurufKu then ...
- Di dalam kakas pemrograman Delphi, set sering digunakan untuk mengindikasikan flag. Misalnya himpunan icon untuk window:
type
TBorderIcon=(biSystemMenu, biMinimize,
biMaximaze);
Huruf = set of TBoderIcon;
Tidak ada komentar:
Posting Komentar